一元二次方程 · 概念 · 性质 · 推导 · 结论
教学动画（单文件可离线运行）｜适用：九年级（初三）｜依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》"方程与不等式"主题
① 概念定义
② 判别式与根
③ 求根公式推导
④ 韦达定理（根与系数）
① 一元二次方程的概念
只含一个未知数，且未知数的
最高次数是 2
的整式方程
a x
2
+ b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项 ax²
一次项 bx
常数项 c
x² − 3x + 2 = 0
交互：改变系数，观察"次数"的变化
a
1
b
-3
c
2
探究问题
把
a 拖到 0
，方程还叫"一元二次方程"吗？为什么必须
a ≠ 0
？
二次项、一次项、常数项分别由哪个字母决定？它们和"次数"有什么关系？
结论：
形如
ax²+bx+c=0 (a≠0)
的方程叫一元二次方程。a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
a=0 时退化为一元一次方程
，不再属于"二次"。
② 根的判别式 Δ = b² − 4ac
x² − 3x + 2 = 0
交互：拖动系数，看抛物线与 x 轴的交点
a
1
b
-3
c
2
快速情形：
Δ > 0（两不等根）
Δ = 0（两相等根）
Δ < 0（无实根）
探究问题
抛物线与 x 轴的
交点个数
，和
Δ 的正负
有什么关系？
Δ = 0 时，为什么"两个相等的实根"只对应
一个
交点？
结论（性质）：
Δ > 0
⇔ 两个不相等的实根；
Δ = 0
⇔ 两个相等的实根（重合）；
Δ < 0
⇔ 无实根。
这也给出求根公式
x = (−b ± √Δ)/(2a)
有意义的充要条件：
Δ ≥ 0
。
③ 求根公式的推导（配方法）
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重置
推导思路（降次思想）
核心：把含
x²
和
x
的式子，
配成完全平方
，从而"降次"为一次式。
关键一步：两边同加
(b/2a)²
，恰好使左边成为
(x + b/2a)²
。
开平方时记得写
±
，所以得到
两根
。
探究问题
为什么偏偏加
(b/2a)²
，而不是别的数？
第 6 步为什么要求
b²−4ac ≥ 0
才能开平方？
最终结论（求根公式）：
x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a) (a≠0)
④ 根与系数的关系（韦达定理）
x² − 3x + 2 = 0
交互：改变系数，验证两根之和与积
a
1
b
-3
c
2
探究问题
两根之和，只和
b、a
有关，与
c
无关，你发现了吗？
两根之积等于
c/a
，你能从图象（两根关于对称轴对称）看出线索吗？
结论：
若 x₁、x₂ 是方程 ax²+bx+c=0 (a≠0) 的两根，则
x₁ + x₂ = −b/a
，
x₁·x₂ = c/a
。
（课标：了解一元二次方程的根与系数的关系，能解决一些简单问题。）